El diagrama de OpenAI se basa en elegir c² = 65, que puede satisfacerse con 1² + 8² = 65 o 4² + 7² = 65. Es decir, si el espaciado de la cuadrícula es 1/√65, cada punto estará a una unidad de distancia de otros 16 puntos: (1,8), (4,7), (7,4), (8,1), (-1,8), (-4,7), y así sucesivamente. Los valores más grandes de c², si se eligen con cuidado, permiten más diagonales enteras y, por tanto, más pares de distancias unitarias.
Sin embargo, si c² es demasiado grande en comparación con el número de puntos de la red, entonces muchos vecinos potencialmente a una unidad de distancia estarán fuera de la red.
En resumen, queremos elegir un c² que sea lo suficientemente grande pero no demasiado. Utilizando conocimientos de la teoría de números, incluido Teorema de los dos cuadrados de JacobiErdős pudo demostrar que un círculo de tamaño óptimo permitiría que el número de pares de unidades de distancia aumentara más rápido que el número de puntos, pero solo ligeramente.
La pregunta es “¿puedes hacerlo mejor?” Para encontrar el límite superior, Erdős utilizó argumentos de un campo de las matemáticas muy diferente llamado teoría de grafos para demostrar que sólo se pueden tener unas pocas unidades de distancia. Pero su límite superior creció mucho más rápido que el mejor límite inferior que pudo construir.
La conjetura de Erdős es que el valor óptimo está en realidad más cerca del límite inferior que del límite superior. Predijo, pero no pudo probar, que el número máximo de pares de unidades de distancia crece ligeramente más rápido que el número de puntos.
Más precisamente, Erdős supuso que el número de unidades de distancia es n^(1+o(1)). En otras palabras, para un n suficientemente grande, el número máximo de unidades de distancia será menor que n^(1+𝜖) para cualquier 𝜖 > 0. Esto puede sumar un poco más rápido que la construcción del límite inferior, es decir, n^(1 + C/(log log n)) para alguna constante C, pero en el mismo rango general.
